Question

（2011•東城區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求證：f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）求f（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)，只需要證明其導(dǎo)數(shù)大于0即可；求導(dǎo)函數(shù)先研究函數(shù)的單調(diào)性，確定極值，從而確定函數(shù)的最值，分類討論是解題的關(guān)鍵．
（Ⅱ）先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，求出極值、最值即可．

解答：證明：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，f（x）=x²-2lnx，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f/(x)=

2(x2-1)

x

＞0，所以f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；   …（5分）
（Ⅱ）解：f/(x)=

2x2-a

x

＞0，
當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，最小值為f（1）=1．
當(dāng)a＞0，x∈(0，

a 2

)時，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(

a 2

，+∞)時，f（x）單調(diào)遞增．
若

a 2

≤ 1，即0＜a≤2時，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，又f（1）=1，，所以f（x）在[1，+∞）上的最小值為1．
若

a 2

＞1，即a＞2時，f（x）在[1，

a 2

)上單調(diào)遞減；在(

a 2

，+∞)上單調(diào)遞增．
又f(

a 2

)=

a

2

-

a

2

ln

a

2

，所以f（x）在[1，+∞）上的最小值為

a

2

-

a

2

ln

a

2

．
綜上，當(dāng)a≤2時，f（x）在[1，+∞）上的最小值為1；
當(dāng)a＞2時，f（x）在[1，+∞）上的最小值為

a

2

-

a

2

ln

a

2

．…（13分）

點評：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便，但應(yīng)注意f′（x）＞0（或f′（x）＜0）僅是f（x）在某個區(qū)間上為增函數(shù)（或減函數(shù)）的充分條件，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f（x）在（a，b）上遞增（或遞減）的充要條件應(yīng)是f′（x）≥0[或f′（x）≤0]，x∈（a，b）恒成立，且f′（x）在（a，b）的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0，這就是說，函數(shù)f（x）在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內(nèi)個別點處有f′（x0）=0，甚至可以在無窮多個點處f′（x0）=0，只要這樣的點不能充滿所給區(qū)間的任何一個子區(qū)間，因此，在已知函數(shù)f（x）是增函數(shù)（或減函數(shù)）求參數(shù)的取值范圍時，應(yīng)令f′（x）≥0[或f′（x）≤0]恒成立，解出參數(shù)的取值范圍（一般可用不等式恒成立理論求解），然后檢驗參數(shù)的取值能否使f′（x）恒等于0，若能恒等于0，則參數(shù)的這個值應(yīng)舍去，若f′（x）不恒為0，則由f′（x）≥0[或f′（x）≤0]恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定．