Question

若函數(shù)g(x)=

cos π 2 x，  x≤0 log4(x+1)+k，x＞0

的值域?yàn)閇-1，+∞），則k的取值范圍是

[-1，1]

．

Answer 1

分析：當(dāng)x≤0時(shí)，g（x）=cos

π

2

，其周期T=4，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=log₄（x+1）+k，結(jié)合題意可得當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=k∈[-1，1]，從而可求得k的取值范圍．

解答：解：∵g（x）=

cos π 2 x，  x≤0 log4(x+1)+k，x＞0

，
∴當(dāng)x≤0時(shí)，g（x）=cos

π

2

x，其周期T=

2π

π 2

=4，
∴當(dāng)x≤0時(shí)，-1≤g（x）≤1，
當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=log₄（x+1）+k，g（x）可看做將f（x）=log₄x向左平移一個(gè)單位，再向上平移k個(gè)單位，
又∵g（x）的值域?yàn)閇-1，+∞），
∴當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=k∈[-1，1]，
故k的取值范圍是-1≤k≤1．
故答案為：[-1，1]．

點(diǎn)評：本題考查分段函數(shù)，著重考查余弦函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的定義域和值域，突出考查數(shù)形結(jié)合思想，分析轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．