已知函數(shù)f(x)=x2-bx+3,且f(0)=f(4).
(1)求函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn),寫(xiě)出滿足條件f(x)<0的x的集合;
(2)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值.

解:(1)由f(0)=f(4),得3=16-4b+3,
∴b=4,
∴f(x)=x2-4x+3,函數(shù)的零點(diǎn)為1,3,
令f(x)=0,解得x=1或x=3,
∴f(x)=x2-4x+3,函數(shù)的零點(diǎn)為1,3,
依函數(shù)圖象,f(x)<0的x的集合為{x|1<x<3}.
(2)由于函數(shù)f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,x∈[0,3]
所以,f(x)的最小值為f(2)=-1,
f(x)的最大值為f(0)=3.
分析:(1)把f(0)=f(4)代入函數(shù)解析式,即可求得b的值,令f(x)=0,解方程即可求得函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn),進(jìn)而求出f(x)<0的x的集合;
(2)根據(jù)(1)求得的結(jié)果,對(duì)二次函數(shù)配方,求出其在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值.
點(diǎn)評(píng):本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,三個(gè)二次之間的關(guān)系,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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