【題目】如圖,在以為頂點的五面體中,面是邊長為3的菱形.
(1)求證:;
(2)若,,,,,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)由已知條件中的菱形得到線線平行,利用線面平行的判定定理得到線面平行,再由線面平行的性質(zhì)定理得到線線平行;
(2)建立空間直角坐標系,求出法向量的夾角,得出二面角的大小.
(1)因為是菱形,
所以,
又因為平面,
平面,
所以平面,
又因為平面,
平面平面,
所以.
(2)在中,
根據(jù)余弦定理,
因為,,,
所以,
則,
所以,
即.
因為,,
所以.
又因為,
平面,
所以平面.
設中點為,連結(jié),,
因為是菱形,,
所以是等邊三角形,
所以,
所以.
作于點,
則,
在中,,
所以.
如圖,以為坐標原點,分別以,,為軸,軸,軸正方向,建立空間直角坐標系.
則,,,
,.
設平面的一個法向量為,
因為,
所以,
即,
取,解得,,
此時.
由圖可知,平面的一個法向量為,
則,
因為二面角是銳角,所以二面角的余弦值是.
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【題目】已知橢圓的左頂點為,離心率為,點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于,兩點,直線,分別與軸交于點,,求證:在軸上存在點,使得無論非零實數(shù)怎樣變化,總有為直角,并求出點的坐標.
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【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Index,簡稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級,0~50為優(yōu);51~100為良;101~150為輕度污染;151~200為中度污染;201~300為重度污染;大于300為嚴重污染.某環(huán)保人士從當?shù)啬衬甑腁QI記錄數(shù)據(jù)中,隨機抽取了15天的AQI數(shù)據(jù),用如圖所示的莖葉圖記錄.根據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù),估計此地該年空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的天數(shù)約為__________.(該年為366天)
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【題目】已知拋物線: 的焦點為,圓: ,過作垂直于軸的直線交拋物線于、兩點,且的面積為.
(1)求拋物線的方程和圓的方程;
(2)若直線、均過坐標原點,且互相垂直, 交拋物線于,交圓于, 交拋物線于,交圓于,求與的面積比的最小值.
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【題目】設點,動點滿足,的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過定點作直線交曲線于兩點.設為坐標原點,若直線與軸垂直,求面積的最大值;
(3)設,在軸上,是否存在一點,使直線和的斜率的乘積為非零常數(shù)?若存在,求出點的坐標和這個常數(shù);若不存在,說明理由.
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【題目】已知動點是的頂點,,,直線,的斜率之積為.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)設四邊形的頂點都在曲線上,且,直線,分別過點,,求四邊形的面積為時,直線的方程.
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【題目】如圖,在圓柱中,點、分別為上、下底面的圓心,平面是軸截面,點在上底面圓周上(異于、),點為下底面圓弧的中點,點與點在平面的同側(cè),圓柱的底面半徑為1,高為2.
(1)若平面平面,證明:;
(2)若直線與平面所成線面角的正弦值等于,證明:平面與平面所成銳二面角的平面角大于.
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