Question

2．已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{4}$）的圖象過點P（$\frac{π}{12}$，0），圖象上與點P最近的一個最高點是Q（$\frac{π}{3}$，5）．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可得點P（$\frac{π}{12}$，0）是對稱中心，與點P最近的一個最高點是Q（$\frac{π}{3}$，5）．可得A=5，$\frac{1}{4}T$=$\frac{π}{3}-\frac{π}{12}$可得周期，從而可是ω的值．圖象過點P（$\frac{π}{12}$，0），帶入可得φ的值．
（2）將內層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調遞增區(qū)間．

解答 解 （1）依題意得：A=5，
周期$\frac{1}{4}T$=$\frac{π}{3}-\frac{π}{12}$可得，T=π
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2
故y=5sin（2x+φ），
又圖象過點P（$\frac{π}{12}$，0），
可得0=5sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）
由已知可得$\frac{π}{6}$+φ=kπ，k∈Z，又|φ|＜$\frac{π}{4}$
∴φ=-$\frac{π}{6}$．
故函數(shù)的解析式y(tǒng)=5sin（2x-$\frac{π}{6}$），
（2）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得：-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
故函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為：[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z，

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，根據(jù)已知條件求出解析式是解決本題的關鍵．