Question

14．已知以拋物線x²=2py，（p＞0）的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)之間的距離為直徑的圓的面積為4π，過點(diǎn)（-1，0）的直線L與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則焦點(diǎn)到直線L的距離為1或4或$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 以拋物線x²=2py，（p＞0）的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)之間的距離為直徑的圓的面積為4π，求出拋物線的方程，考慮斜率存在與不存在，分別求出切線方程，即可得到結(jié)論．

解答 解：由題意，$\frac{p}{2}$=4，∴p=8，∴x²=16y，
設(shè)過點(diǎn)A（-1，0）的直線l的方程為y=k（x+1），代入拋物線x²=16y，化簡可得x²-16kx-16k=0
∵過點(diǎn)A（-1，0）的直線l與拋物線x²=16y只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=256k²+64k=0
∴k=0或-$\frac{1}{4}$
切線方程為y=0或y=-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$，
當(dāng)斜率不存在時(shí)，x=-1滿足題意
焦點(diǎn)（0，4）到直線L的距離為分別為1或4或$\sqrt{17}$，
故答案為1或4或$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．