Question

2．過拋物線$y=\frac{1}{4}{x^2}$的焦點(diǎn)F作一條傾斜角為30°的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)解得一個關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合曲線的弦長的公式，可以求出線段AB的長度．

解答 解：根據(jù)拋物線$y=\frac{1}{4}{x^2}$方程得：焦點(diǎn)坐標(biāo)F（0，1），
直線AB的斜率為k=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由直線方程的點(diǎn)斜式方程，設(shè)AB：y-1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x
將直線方程代入到拋物線$y=\frac{1}{4}{x^2}$中，得：$\frac{1}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
x₁x₂=-4．
弦長|AB|=$\sqrt{1+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}|{x}_{2}-{x}_{1}|$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}•\sqrt{（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}+16}$=$\frac{16}{3}$．
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評 本題以拋物線為載體，考查了圓錐曲線的弦長問題，屬于中檔題．本題運(yùn)用了直線方程與拋物線方程聯(lián)解的方法，對運(yùn)算的要求較高．利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式是解決本題的關(guān)鍵．