Question

3．已知兩定點(diǎn)M（-2，0），N（2，0），若直線kx-y=0上存在點(diǎn)P，使得|PM|-|PN|=2，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 由|PM|-|PN|=2＜|MN|，由雙曲線的定義可得P的軌跡為以M，N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支，求得雙曲線的方程，代入y=kx，解方程可令3-k²＞0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：由題意可得|MN|=4，
|PM|-|PN|=2＜|MN|，
由雙曲線的定義可得P的軌跡為以M，N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支，
由a=1，c=2，可得b²=c²-a²=3，
可得方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x＞0），
由y=kx代入雙曲線的方程，可得：
（3-k²）x²=3，
由題意可得3-k²＞0，解得-$\sqrt{3}$＜k＜$\sqrt{3}$．
故答案為：（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用定義法和聯(lián)立方程，解不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．