Question

18．如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分別是AC、AB上的點，且DE∥BC，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥CD，如圖2．

（Ⅰ）求證：平面A₁BC⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）若CD=2，求BD與平面A₁BC所成角的正弦值；
（Ⅲ）當(dāng)D點在何處時，A₁B的長度最小，并求出最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在圖1中，△ABC中，由已知可得：AC⊥DE．在圖2中，DE⊥A₁D，DE⊥DC，即可證明DE⊥平面A₁DC，再利用面面垂直的判定定理即可證明．
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面A₁BC的法向量為$\vec m=（{x，y，z}）$，利用$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{A_1}C}•\vec m=0}\\{\overrightarrow{CB}•\vec m=0}\end{array}}\right.$，BE與平面所成角的正弦值為$cosθ=\frac{{\overrightarrow{BE}•\vec m}}{{|{\overrightarrow{BE}}|•|{\vec m}|}}=\frac{4}{5}$．
（Ⅲ）設(shè)CD=x（0＜x＜6），則A₁D=6-x，利用$|{{A_1}B}|=\sqrt{{{（{3-0}）}^2}+{x^2}+{{（{6-x}）}^2}}$=$\sqrt{2{{（{x-3}）}^2}+27}$（0＜x＜6），即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：在圖1中，△ABC中，DE∥BC，AC⊥BC，則AC⊥DE，
∴在圖2中，DE⊥A₁D，DE⊥DC，
又∵A₁D∩DC=D，∴DE⊥平面A₁DC，
∵DE∥BC，∴BC⊥平面A₁DC，
∵BC?平面A₁BC，∴平面A₁BC⊥平面A₁DC．
（Ⅱ）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系：A₁（0，0，4）B（3，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），
E（2，0，0）．
則$\overrightarrow{BE}=（{-1，-2，0}）$，$\overrightarrow{{A_1}C}=（{0，2，-4}）$，$\overrightarrow{CB}=（{3，0，0}）$
設(shè)平面A₁BC的法向量為$\vec m=（{x，y，z}）$
則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{A_1}C}•\vec m=0}\\{\overrightarrow{CB}•\vec m=0}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{2y-4z=0}\\{3x=0}\end{array}}\right.$，即$\vec m=（{0，2，1}）$
則BE與平面所成角的正弦值為$cosθ=\frac{{\overrightarrow{BE}•\vec m}}{{|{\overrightarrow{BE}}|•|{\vec m}|}}=\frac{4}{5}$
（Ⅲ）解：設(shè)CD=x（0＜x＜6），則A₁D=6-x，在（2）的坐標(biāo)系下有：A₁（0，0，6-x），B（3，x，0），
∴$|{{A_1}B}|=\sqrt{{{（{3-0}）}^2}+{x^2}+{{（{6-x}）}^2}}$=$\sqrt{2{x^2}-12x+45}$=$\sqrt{2{{（{x-3}）}^2}+27}$（0＜x＜6），
即當(dāng)x=3時，A₁B長度達(dá)到最小值，最小值為$3\sqrt{3}$．

點評 本題考查了空間線面位置關(guān)系、空間角、平面的法向量的應(yīng)用、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了空間洗洗來、推理能力與計算能力，屬于中檔題．