Question

20．函數(shù)f（x）=$\frac{{2\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）+4{x^2}-x}}{{2{x^2}+cosx}}$的最大值為M，最小值為N，則有（　　）

• A． M-N=4
• B． M-N=0
• C． M+N=4
• D． M+N=0

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=2+$\frac{2sinx-x}{{2x}^{2}+cosx}$，令g（x）=$\frac{2sinx-x}{{2x}^{2}+cosx}$，則f（x）=g（x）+2，g（x）為定義域上的奇函數(shù)，最大值與最小值的和為0；由此求出M+N的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{{2\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）+4{x^2}-x}}{{2{x^2}+cosx}}$
=$\frac{2（sinx+cosx）+{4x}^{2}-x}{{2x}^{2}+cosx}$
=$\frac{2cosx+{4x}^{2}}{{2x}^{2}+cosx}$+$\frac{2sinx-x}{{2x}^{2}+cosx}$
=2+$\frac{2sinx-x}{{2x}^{2}+cosx}$；
令g（x）=$\frac{2sinx-x}{{2x}^{2}+cosx}$，
則f（x）=g（x）+2，g（-x）=$\frac{-2sinx+x}{{2x}^{2}+cosx}$=-g（x），
∴函數(shù)g（x）為定義域上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
最大值與最小值也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
即函數(shù)g（x）的最值的和為0．
∵f（x）=g（x）+2，
∴M+N=g（x）_min+2+g（x）_max+2=4．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求最值的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．