Question

【題目】已知函數(shù)，當，時，的值域為，，當，時，的值域為，，依此類推，一般地，當，時，的值域為，，其中、為常數(shù)，且，．

（1）若，求數(shù)列，的通項公式；

（2）若，問是否存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；

（3）若，設數(shù)列，的前項和分別為，，求．

Answer 1

【答案】（1）an=（n﹣1）m，bn=1+（n﹣1）m；（2）存在， k=；（3）

【解析】

（1）由遞增，可得值域，進而得到，，由等差數(shù)列的通項公式，即可得到所求；

（2）由單調(diào)性求得的值域，，則，再由，運用等比數(shù)列的定義和通項公式，即可得到結(jié)論；

（3）運用函數(shù)的單調(diào)性，可得的值域，由作差，運用等比數(shù)列的定義和通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求．

解：（1）因為，當，時，為遞增函數(shù)，

所以其值域為，，

于是，，

又，，則，；

（2）因為，，當，時，單調(diào)遞增，

所以的值域為，，

由，則；

法一：假設存在常數(shù)，使得數(shù)列，得，則符合．

法二：假設存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足，當不符合．

當時，，，

則，

當時，，解得符合，

（3）因為，當，時，為遞減函數(shù)，

所以的值域為，，

于是，，，

則，

因此是以為公比的等比數(shù)列，

又則有，

進而有．