Question

8．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，且f（$\frac{π}{4}$）=0，將函數(shù)f（x）圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移$\frac{π}{2}$個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式；
（2）是否存在x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），使得f（x₀），g（x₀），f（$\frac{π}{6}$）按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請求出x₀的值，若不存在，說明理由；
（3）求實(shí)數(shù)a，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，2π）內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由周期公式可得ω，ω＞0，再由對稱中心可得φ值，可得f（x）解析式，由函數(shù)圖象變換和誘導(dǎo)公式化簡可得；
（2）根據(jù)x的范圍，求出sinx₀+cos2x₀=1，繼而求出sinx₀的值，即可判斷，
（3）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得cos2x+asinx=0，再分類討論即可求出答案

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的周期為π，ω＞0，∴ω=$\frac{2π}{T}$=2，
又曲線y=f（x）的一個(gè)對稱中心為（$\frac{π}{4}$，0），φ∈（0，π），
∴sin（2×$\frac{π}{4}$+φ）=0，可得φ=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=cos2x，
將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）后可得y=cosx的圖象，
再將y=cosx的圖象向右平移$\frac{π}{2}$個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$）的圖象，
由誘導(dǎo)公式化簡可得g（x）=sinx；
（2）當(dāng)x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），$\frac{1}{2}$＜sinx＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0＜cos2x＜$\frac{1}{2}$，
∵f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，則g（x₀）＞f（$\frac{π}{6}$）＞f（x₀），
∴g（x₀）+f（x₀）=2f（$\frac{π}{6}$），
即sinx₀+cos2x₀=1，
化簡得sinx₀=0或sinx₀=$\frac{1}{2}$與$\frac{1}{2}$＜sinx₀＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$矛盾，
所以不存在x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），使得f（x₀），g（x₀），f（$\frac{π}{6}$）按照某種順序成等差數(shù)列．
（3）F（x）=f（x）+ag（x）=0，
即cos2x+asinx=0，
當(dāng)sinx=0，顯然不成立，
當(dāng)sinx≠0時(shí)，a=-$\frac{cos2x}{sinx}$=2sinx-$\frac{1}{sinx}$，令t=sinx，則當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，t∈[-1，1]，
由函數(shù)a=2t-$\frac{1}{t}$，t∈[-1，1]，以及t=sinx，x∈[0，2π]的圖象可知，
當(dāng)a=±1時(shí)，a=2sinx-$\frac{1}{sinx}$在[0，2π]內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，a=±1

點(diǎn)評 本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系，三角恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，抽象概括能力，推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．