Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{x+1}$在（-1，+∞）是增函數(shù)．
（1）當(dāng)b=1時(shí)，求a的取值范圍．
（2）若g（x）=f（x）-1008沒(méi)有零點(diǎn)，f（1）=0，求f（-3）的值．

Answer 1

分析 （1）利用分離常數(shù)法，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性求解即可．
（2）求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，推出關(guān)系式，然后求解a，利用f（x）+f（-2-x）=2a求解即可．

解答 解：（1）b=1時(shí)    $f（x）=\frac{ax+1}{x+1}=a+\frac{1-a}{x+1}$…（3分）
∵f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)，
∴1-a＜0即a＞1．
所求a的范圍為（1，+∞）．…（6分）
（2）$f（x）=\frac{ax+b}{x+1}=a+\frac{b-a}{x+1}$，∴f（x）關(guān)于點(diǎn)（-1，a）對(duì)稱(chēng)．
即f（x）+f（-2-x）=2a…（8分）
∵g（x）=f（x）-1008沒(méi)有零點(diǎn)，
∴a=1008…（10分）
∵f（1）=0又f（1）+f（-3）=2×1008=2016
∴f（-3）=2016…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．另：本題也可以先求a、b再求f（-3）．