Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{x+1}$在（-1，+∞）是增函數(shù)．
（1）當b=1時，求a的取值范圍．
（2）若g（x）=f（x）-1008沒有零點，f（1）=0，求f（-3）的值．

Answer 1

分析 （1）利用分離常數(shù)法，通過函數(shù)的單調性求解即可．
（2）求出函數(shù)的對稱點的坐標，推出關系式，然后求解a，利用f（x）+f（-2-x）=2a求解即可．

解答 解：（1）b=1時    $f（x）=\frac{ax+1}{x+1}=a+\frac{1-a}{x+1}$…（3分）
∵f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)，
∴1-a＜0即a＞1．
所求a的范圍為（1，+∞）．…（6分）
（2）$f（x）=\frac{ax+b}{x+1}=a+\frac{b-a}{x+1}$，∴f（x）關于點（-1，a）對稱．
即f（x）+f（-2-x）=2a…（8分）
∵g（x）=f（x）-1008沒有零點，
∴a=1008…（10分）
∵f（1）=0又f（1）+f（-3）=2×1008=2016
∴f（-3）=2016…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的零點個數(shù)，函數(shù)的單調性，對稱性的應用，考查計算能力．另：本題也可以先求a、b再求f（-3）．