Question

（1）△ABC的三邊a，b，c倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：
（2）證明：．

Answer 1

證明：（1）反證法：假設(shè)B≥．
則有b＞a＞0，b＞c＞0．
則，
可得與已知矛盾，
假設(shè)不成立，原命題正確．
（2）因為
=
=，
所以；
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：，
①當(dāng)n=2時，左邊=，右邊=，左＜右，不等式成立．
②假設(shè)n=k（k≥2，k∈Z）不等式成立，即，
那么：，
要證，
只需證明：，
即證明：，
就是證明：（k-1）（k+1）²＜k（k²+k-1），
只需證明：k³+2k²+k-k²-2k-1＜k³+k²-k，
即證明-1＜0，這是顯然成立的，
所以成立．
這就是說n=k+1時不等式也成立，
由①②可知，成立．
綜上不等式恒成立．
分析：（1）反證法，假設(shè)B≥，則 b為最大邊，有b＞a＞0，b＞c＞0．推出與已知矛盾的結(jié)果．
（2）利用放縮法以及裂項法求和證明不等式的左側(cè)，右側(cè)不等式利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
點評：第一題使用反證法證明，注意反證法的步驟；第二題考查放縮法與數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的基本方法，注意數(shù)學(xué)歸納法中的分析法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．