Question

（1）△ABC的三邊a，b，c倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：B＜

π

2

（2）證明：

1

2

-

1

n+1

＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

n-1

n

(n=2，3，4…)．

Answer 1

分析：（1）反證法，假設(shè)B≥

π

2

，則 b為最大邊，有b＞a＞0，b＞c＞0．推出與已知矛盾的結(jié)果．
（2）利用放縮法以及裂項(xiàng)法求和證明不等式的左側(cè)，右側(cè)不等式利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答：證明：（1）反證法：假設(shè)B≥

π

2

．
則有b＞a＞0，b＞c＞0．
則

1

b

＜

1

a

，

1

b

＜

1

c

可得

2

b

＜

1

c

+

1

a

與已知矛盾，
假設(shè)不成立，原命題正確．
（2）因?yàn)?span id="9jrvtvp" class="MathJye">

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＞

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n•(n+1)

=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+1

=

1

2

-

1

n+1

，
所以

1

2

-

1

n+1

＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

；
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

n-1

n

(n=2，3，4…)，
①當(dāng)n=2時(shí)，左邊=

1

22

=

1

4

，右邊=

2-1

2

=

1

2

，左＜右，不等式成立．
②假設(shè)n=k（k≥2，k∈Z）不等式成立，即

1

22

+

1

32

+…+

1

k2

＜

k-1

k

(k=2，3，4…)，
那么：

1

22

+

1

32

+…+

1

k2

+

1

(k+1)2

＜

k-1

k

+

1

(k+1)2

，
要證

k-1

k

+

1

(k+1)2

＜

k

k+1

，
只需證明：

k-1

k

＜

k

k+1

-

1

(k+1)2

，
即證明：

k-1

k

＜

k2+k-1

(k+1)2

，
就是證明：（k-1）（k+1）²＜k（k²+k-1），
只需證明：k³+2k²+k-k²-2k-1＜k³+k²-k，
即證明-1＜0，這是顯然成立的，
所以

1

22

+

1

32

+…+

1

k2

+

1

(k+1)2

＜

k

k+1

成立．
這就是說n=k+1時(shí)不等式也成立，
由①②可知，

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

n-1

n

(n=2，3，4…)成立．
綜上不等式

1

2

-

1

n+1

＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

n-1

n

(n=2，3，4…)恒成立．

點(diǎn)評：第一題使用反證法證明，注意反證法的步驟；第二題考查放縮法與數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的基本方法，注意數(shù)學(xué)歸納法中的分析法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．