Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足條件f（x+

3

2

）=-f（x），且函數(shù)y=f（x-

3

4

）是奇函數(shù)，給出以下
①函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

3

4

，0）對稱；
③函數(shù)f（x）是偶函數(shù)：
④函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)．
其中真命題的個數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x+

3

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）=-f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函數(shù)圖象的對稱性，及函數(shù)圖象的平移變換，可得函數(shù)的對稱中心，結(jié)合這些條件可探討函數(shù)的奇偶性，及單調(diào)性．

解答： 解：①∵f（x+3）=-f（x+

3

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）=f（x）∴函數(shù)f（x）是周期函數(shù)且其周期為3．故①正確．
②∵函數(shù)y=f（x-

3

4

）是奇函數(shù)，∴其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
又∵函數(shù)f（x）的圖象是由y=f（x-

3

4

）向左平移

3

4

個單位長度得到．
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

3

4

，0）對稱，故②正確．
③由②知，對于任意的x∈R，都有f（-

3

4

-x）=-f（-

3

4

+x），用

3

4

+x換x，可得：f（-

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2

-x）+f（x）=0，
∴f（-

3

2

-x）=-f（x）=f（x+

3

2

）對于任意的x∈R都成立．
令t=

3

2

+x，則f（-t）=f（t），∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故③正確．
④∵偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，∴f（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)，故④錯誤．
故正確的命題是①②③，
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性等，抽象函數(shù)是相對于給出具體解析式的函數(shù)來說的，它雖然沒有具體的表達(dá)式，但是有一定的對應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．