Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，m），$\overrightarrow$=（2，n）．
（1）若m=3，n=-1，且$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$），求實數(shù)λ的值；
（2）若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=5，求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的坐標運算和向量的數(shù)量積即可求出，
（2）根據(jù)向量的模求出（m+n）²=16，再根據(jù)基本不等式和向量的數(shù)量積即可求出

解答 解：（1）m=3，n=-1時，$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow$=（2，-1），
∴$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$=（1+2λ，3-λ），
∵$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$），
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$）=1+2λ+3（3-λ）=0，
解得λ=10，
（2）∵$\overrightarrow{a}$=（1，m），$\overrightarrow$=（2，n），
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（3，m+n），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2+mn，
∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=5，
∴9+（m+n）²=25，
∴（m+n）²=16，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2+mn≤2+$\frac{1}{4}$（m+n）²=6，
當且僅當m=n=2或m=n=-2時取等號，
故$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最大值6．

點評 本題考查了向量的坐標運算，向量的數(shù)量積，向量的模和基本不等式，屬于基礎題