Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

eX

x2+ax+a

，其中a為實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）若f（x）的定義域?yàn)镽，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)f（x）的定義域?yàn)镽時(shí)，求f（x）的單減區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)镽，說明分母不為零，利用判別式直接求a的取值范圍；
（Ⅱ）f（x）的定義域?yàn)镽時(shí)，求導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)為0確定x的值，根據(jù)a的范圍，確定導(dǎo)數(shù)的符合，求f（x）的單減區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)镽，
∴x²+ax+a≠0恒成立，∴△=a²-4a＜0，∴0＜a＜4，
即當(dāng)0＜a＜4時(shí)f（x）的定義域?yàn)镽．

（Ⅱ）由題意可知：f′(x)=

x(x+a-2)ex

(x2+ax+a)2

，令f'（x）≤0，得x（x+a-2）≤0．
由f'（x）=0，得x=0或x=2-a，
又∵0＜a＜4，∴0＜a＜2時(shí)，由f'（x）＜0得0＜x＜2-a；
當(dāng)a=2時(shí)，f'（x）≥0；當(dāng)2＜a＜4時(shí)，由f'（x）＜0得2-a＜x＜0，
即當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2-a）；
當(dāng)2＜a＜4時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（2-a，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域及其求法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是中檔題．