Question

橢圓中，F(xiàn)₁、F₂為左、右焦點(diǎn)，A為短軸一端點(diǎn)，弦AB過(guò)左焦點(diǎn)F₁，則△ABF₂的面積為

1. A.
   3
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：先判斷△AOF₁是等腰直角三角形，△AOF₂也是等腰直角三角形，從而△F₁AF₂也是等腰直角三角形，故可得∠BAF₂=90°，設(shè)|BF₁|=x，根據(jù)橢圓定義，x+|BF₂|=2a=2，利用勾股定理，AB²+AF₂²=BF₂²，可求得x=，從而可求△ABF₂的面積．
解答：由題意，a=，b=，c=，|OA|=|OF₁|=，
∴△AOF₁是等腰直角三角形，同理△AOF₂也是等腰直角三角形，
∴△F₁AF₂也是等腰直角三角形，
∴|F₁A|=|F₂A|=，
∴∠BAF₂=90°，
設(shè)|BF₁|=x，根據(jù)橢圓定義，x+|BF₂|=2a=2．
根據(jù)勾股定理，AB²+AF₂²=BF₂²，
（+x）²+（）²=（2-x）²，
∴x=，
∴S_△ABF2=|AB|×|AF₂|=（+）×=4．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查橢圓焦點(diǎn)三角形的面積，解題的關(guān)鍵是求出判斷出∠BAF₂=90°．