Question

過橢圓Γ：＝1(a＞b＞0)右焦點F2的直線交橢圓于A，B兩點，F1為其左焦點，已知△AF1B的周長為8，橢圓的離心率為.

(1)求橢圓Γ的方程；

(2)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓Γ恒有兩個交點P，Q，且⊥？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1（2）存在圓心在原點的圓x2＋y2＝滿足條件

【解析】(1)由已知得解得∴b2＝a2－c2＝1，

故橢圓Γ的方程為＋y2＝1.

(2)假設(shè)滿足條件的圓存在，其方程為x2＋y2＝r2(0＜r＜1)．

當直線PQ的斜率存在時，設(shè)其方程為y＝kx＋t，

由消去y整理得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0.

設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

則x1＋x2＝－，x1x2＝.①

∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0.

又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，

∴x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，

即(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝0.②

將①代入②得＋t2＝0，?

即t2＝ (1＋k2)．

∵直線PQ與圓x2＋y2＝r2相切，

∴r＝∈(0,1)，

∴存在圓x2＋y2＝滿足條件．

當直線PQ的斜率不存在時，也適合x2＋y2＝.

綜上所述，存在圓心在原點的圓x2＋y2＝滿足條件．