Question

19．已知橢圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，直線y=kx與橢圓相交于 A、B 兩點(diǎn)，|AF₂|+|BF₂|=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)M，N 分別為線段AF₂，BF₂的中點(diǎn)，原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可得四邊形AF₁BF₂是平行四邊形，即|AF₂|+|BF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a=2$\sqrt{3}$．
可得a=$\sqrt{3}$，b=1，即可得橢圓的方程；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$得B（$\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}$，k•$\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}$），A（-$\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}$．-k$•\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}$）
可得N（$\frac{\sqrt{\frac{3}{1+3{K}^{2}}}+\sqrt{2}}{2}$，$\frac{k•\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}}{2}$），M（$\frac{-\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}+\sqrt{2}}{2}$，$\frac{-k\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}}{2}$），
 只需$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$＜0，即$\frac{2-\frac{3}{1+3{k}^{2}}}{4}+\frac{-{k}^{2}×\frac{3}{1+3{k}^{2}}}{4}$＜0⇒k²$＜\frac{1}{3}$．

解答 解：（Ⅰ）如圖，∵AB、F₁F₂互相平分，∴四邊形AF₁BF₂是平行四邊形
∴AF₂=BF₁，即|AF₂|+|BF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a=2$\sqrt{3}$．
∴a=$\sqrt{3}$，又∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴$c=\sqrt{2}$，b=1
橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$

（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$得B（$\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}$，k•$\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}$），A（-$\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}$．-k$•\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}$）
∴N（$\frac{\sqrt{\frac{3}{1+3{K}^{2}}}+\sqrt{2}}{2}$，$\frac{k•\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}}{2}$），M（$\frac{-\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}+\sqrt{2}}{2}$，$\frac{-k\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}}}{2}$），
∵點(diǎn)O在以MN為直徑的圓內(nèi)，∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$＜0
即$\frac{2-\frac{3}{1+3{k}^{2}}}{4}+\frac{-{k}^{2}×\frac{3}{1+3{k}^{2}}}{4}$＜0⇒k²$＜\frac{1}{3}$
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜k$＜\frac{\sqrt{3}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、點(diǎn)在圓內(nèi)轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．