Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠CPB=α，∠DPA=β．
（Ⅰ）當(dāng)

PD

•

PC

最小時(shí)，求tan∠DPC的值；
（Ⅱ）當(dāng)∠DPC=β時(shí)，求

PD

•

PC

的值．

Answer 1

分析：（I）以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，分別寫(xiě)出點(diǎn)A，B，C，D，P的坐標(biāo)，利用數(shù)量積和二次函數(shù)的單調(diào)性\兩角和的正切公式即可得出；
（II）利用誘導(dǎo)公式和倍角公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，
建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．
則A（0，0），B（3，0），C（3，2），
D（0，1），令P（x，0），0≤x≤3
有

PD

=(-x，1)，

PC

=(3-x，2)
所以

PD

•

PC

=x2-3x+2=(x-

3

2

)2-

1

4

，
當(dāng)x=

3

2

時(shí)，

PD

•

PC

最小
此時(shí)P(

3

2

，0)，在△CPB中，tanα=

2

3 2

=

4

3

，
在△DPA中，tanβ=

1

3 2

=

2

3

所以tan∠DPC=-tan(α+β)=

tanα+tanβ

tanαtanβ-1

=

4 3 + 2 3

4 3 • 2 3 -1

=-18，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P(x，0)，

PD

•

PC

=x2-3x+2，
tanα=

2

3-x

，tanβ=

1

x

，
∵∠DPC=β，∴α=π-2β，tanα=-tan2β
∴

2

3-x

=-

2• 1 x

1- 1 x2

整理得：x=

1

3

此時(shí)

PD

•

PC

=(

1

3

)2-1+2=

10

9

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)量積和二次函數(shù)的單調(diào)性\兩角和的正切公式、誘導(dǎo)公式和倍角公式是解題的關(guān)鍵．