Question

已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，A₁D與BC₁所成的角為，則BC₁與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)已知中長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，A₁D與BC₁所成角為90°，易判斷這是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，設(shè) O為B₁D₁的中點(diǎn)，證明C₁O⊥平面 BB₁D₁D，得出∠C₁BO為直線BC₁與平面BB₁D₁D所成角，解三角形∠C₁BO即可得到直線BC₁與平面BB₁D₁D所成角的大�。�
解答：解：因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2
∴上下底面為正方形
又∵BC₁∥AD₁，A₁D與BC₁所形成的角為90°，
∴A₁D與AD₁所成的角為90°，
∴AA₁D₁D為正方形，
∴ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體
設(shè) O為B₁D₁的中點(diǎn)，則由C₁O⊥B₁D₁，C₁O⊥B₁B，
得出C₁O⊥平面 BB₁D₁D
連接BO，則∠C₁BO為直線BC₁與平面BB₁D₁D所成角
∵BC₁=2； C₁O=
∴sin∠C₁BO=
∠C₁BO=30°
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面所成的角的概念與計(jì)算，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算能力．其中判斷出棱柱為正方體且C₁BO為直線BC₁與平面BB₁D₁D所成角，是解答本題的關(guān)鍵．