Question

18．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=5，a_n+2=2a_n+1-a_n+1
（1）設(shè)b_n=a_n+1-a_n，證明{b_n}是等差數(shù)列，并求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=tanb_n•tanb_n+1，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）將a_n+2=2a_n+1-a_n+1變形為：a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+1，再由條件得b_n+1=b_n+1，根據(jù)條件求出b₁，由等差數(shù)列的定義證明{b_n}是等差數(shù)列，由通項(xiàng)公式可得所求；
（2）求得c_n=tanb_n•tanb_n+1=tan（n+3）•tan（n+4），由兩角差的正切公式可得tan[（n+4）-（n+3）]=$\frac{tan（n+4）-tan（n+3）}{1+tan（n+4）tan（n+3）}$，可得tan（n+3）•tan（n+4）=$\frac{tan（n+4）-tan（n+3）}{tan1}$-1，再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，即可得到所求和．

解答 解：（1）證明：由a_n+2=2a_n+1-a_n+1得，
a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+1，
由b_n=a_n+1-a_n得，b_n+1=b_n+1，
即b_n+1-b_n=1，
又b₁=a₂-a₁=5-1=4，
所以{b_n}是首項(xiàng)為4，公差為1的等差數(shù)列．
且b_n=b₁+（n-1）d=4+n-1=n+3；
（2）c_n=tanb_n•tanb_n+1=tan（n+3）•tan（n+4），
由tan[（n+4）-（n+3）]=$\frac{tan（n+4）-tan（n+3）}{1+tan（n+4）tan（n+3）}$，
可得tan（n+3）•tan（n+4）=$\frac{tan（n+4）-tan（n+3）}{tan1}$-1，
即有數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{tan5-tan4}{tan1}$+$\frac{tan6-tan5}{tan1}$+…+$\frac{tan（n+4）-tan（n+3）}{tan1}$-n
=$\frac{tan（n+4）-tan4}{tan1}$-n．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的判定，注意運(yùn)用構(gòu)造法和定義法，考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，同時考查兩角差 的正切公式的變形運(yùn)用，以及裂項(xiàng)相消求和方法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．