Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直線L的傾斜角為60°，直線L過C的右焦點F₂，且與C相交于A，B兩點（A，B可互換），若

AF2

=λ

F2B

，則λ的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知y₁＞0，y₂＜0．直線l的方程 y=

3

（x-c），代入橢圓方程消掉x得y的二次方程，解出兩根y₁，y₂，由

AF2

=λ

F2B

，得-y₁=λy₂．代入得a，b，c的關(guān)系式，化簡可得

c

a

，即離心率，由0＜e＜1，即可得到．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知y₁＞0，y₂＜0．
直線l的方程為y=

3

（x-c），其中c=

a2-b2

．
聯(lián)立

y= 3 (x-c) x2 a2 + y2 b2 =1

得（3a²+b²）y²+2

3

b²cy-3b⁴=0，
解得y₁=

- 3 b2(c+2a)

3a2+b2

，y₂=

- 3 b2(c-2a)

3a2+b2

，
因為

AF2

=λ

F2B

，
所以-y₁=λy₂．即-

- 3 b2(c+2a)

3a2+b2

=λ•

- 3 b2(c-2a)

3a2+b2

，
所以（1+λ）c=（2λ-2）a，得離心率e=

c

a

=

2λ-2

1+λ

，
由0＜e＜1，解得1＜λ＜3或

1

3

＜λ＜1．
故答案為：（

1

3

，1）∪（1，3）．

點評：本題考查橢圓方程的求解、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運算能力，韋達(dá)定理及弦長公式是解決該類問題常用知識，應(yīng)熟練掌握．