Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$，若f（mx）+mf（x）＜0對(duì)?x∈[1，+∞）恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為m＜-1．

Answer 1

分析 顯然m≠0，分當(dāng)m＞0與當(dāng)m＜0兩種情況進(jìn)行討論，并進(jìn)行變量分離即可得出答案．

解答 解：由f（mx）+mf（x）＜0整理得：2mx＜（m+$\frac{1}{m}$ ）$\frac{1}{x}$，即2mx²＜m+$\frac{1}{m}$ 恒成立．

①當(dāng)m＞0時(shí)，2x²＜1+$\frac{1}{{m}^{2}}$，因?yàn)閥=2x²在x∈[1，+∞）上無(wú)最大值，因此此時(shí)不合題意；
②當(dāng)m＜0時(shí)，2x²＞1+$\frac{1}{{m}^{2}}$，因?yàn)閥=2x²在x∈[1，+∞）上的最小值為2，所以1+$\frac{1}{{m}^{2}}$＜2
即m²＞1，解得m＜-1或m＞1（舍去）．
綜合可得：m＜-1．
故答案為：m＜-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了恒成立問題的基本解法及分類討論思想，屬于中檔題，解決恒成立問題通常可以利用分離變量轉(zhuǎn)化為最值的方法求解．