Question

20．設(shè)a=${∫}_{0}^{π}$（sinx-1+2cos²$\frac{x}{2}$）dx，則（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的展開式中常數(shù)項是-1280．

Answer 1

分析 利用二項式定理可知（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的展開式中通項公式T_k，進而可確定展開式中常數(shù)項為T₃，利用微積分基本定理化簡可知a=2，代入計算即可．

解答 解：（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的展開式中通項公式T_k=${C}_{6}^{k}$$（a\sqrt{x}）^{6-k}$$（-\frac{1}{\sqrt{x}}）^{k}$=（-1）^ka⁶${C}_{6}^{k}$x^3-k，
令x^3-k=1，解得k=3，即展開式中常數(shù)項為T₃=-20a⁶，
又∵a=${∫}_{0}^{π}$（sinx-1+2cos²$\frac{x}{2}$）dx
=${∫}_{0}^{π}$（sinx+cosx）dx
=sinx-cosx${|}_{0}^{π}$
=2，
∴T₃=-20×2⁶=-1280，
故答案為：-1280．

點評 本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，涉及定積分的計算，注意解題方法的積累，屬于中檔題．