Question

某數(shù)學(xué)老師對(duì)本校2013屆高三學(xué)生的高考數(shù)學(xué)成績按1：200進(jìn)行分層抽樣抽取了20名學(xué)生的成績，并用莖葉圖記錄分?jǐn)?shù)如圖所示，但部分?jǐn)?shù)據(jù)不小心丟失，同時(shí)得到如下所示的頻率分布表：

分?jǐn)?shù)段（分）	[50，70）	[70，90）	[90，110）	[110，130）	[130，150）	總計(jì)
頻數(shù)				b
頻率	a	0.25

（1）求表中a，b的值及分?jǐn)?shù)在[90，100）范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，并估計(jì)這次考試全校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的及格率（分?jǐn)?shù)在[90，150）內(nèi)為及格）
（2）從成績?cè)赱100，130）范圍內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選4人，設(shè)其中成績?cè)赱100，110）內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合頻率分布表與莖葉圖給出的數(shù)據(jù)，先求a、b的值，再根據(jù)頻率和為1，求分?jǐn)?shù)在[90，110）范圍內(nèi)的學(xué)生數(shù)，從而求出分?jǐn)?shù)分別在[90，100）和[70，90）的人數(shù)，計(jì)算及格率；
（2）由莖葉圖可知分?jǐn)?shù)在[100，130）范圍內(nèi)的有7人，分?jǐn)?shù)在[100，110）范圍內(nèi)有4人，則隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率，可求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答：（1）由莖葉圖可知分?jǐn)?shù)在[50，70]范圍內(nèi)的有2人，在[110，130]范圍內(nèi)有3人，
∴a=

2

20

=0.1，b=3，
分?jǐn)?shù)在[70，90]內(nèi)的人數(shù)20×0.25=5，結(jié)合莖葉圖可得分?jǐn)?shù)在[70，80]內(nèi)的人數(shù)為2，
∴分?jǐn)?shù)在[90，100]范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為4，故數(shù)學(xué)成績及格的學(xué)生為13人，
∴估計(jì)這次考試全校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的及格率為

13

20

×100%=65%；
（2）由莖葉圖可知分?jǐn)?shù)在[100，130）范圍內(nèi)的有7人，分?jǐn)?shù)在[100，110）范圍內(nèi)有4人，則隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，4，
相應(yīng)的概率為：P（X=1）=

C 1 4 C 3 3

C 4 7

=

4

35

，P（X=2）=

C 2 4 C 2 3

C 4 7

=

18

35

，P（X=3）=

C 3 4 C 1 3

C 4 7

=

12

35

，P（X=4）=

C 4 4 C 0 3

C 4 7

=

1

35

隨機(jī)變量X的分布列為

X	1	2	3	4
P	4 35	18 35	12 35	1 35

EX=1×

4

35

+2×

18

35

+3×

12

35

+4×

1

35

=2.2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了莖葉圖，考查了古典概型的概率計(jì)算，考查隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求概率是關(guān)鍵．