Question

2．（1）求函數(shù)y=$\sqrt{sinx}$+$\sqrt{\frac{1}{2}-cosx}$的定義域．
（2）求函數(shù)y=cos²x-sinx，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]的值域．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{sinx≥0}\\{\frac{1}{2}-cosx≥0}\end{array}\right.$，即可求得函數(shù)的定義域；
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二次函數(shù)的性質(zhì)可知y=-（sinx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，由x的取值范圍，sinx∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)的值域．

解答 解：（1）由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{sinx≥0}\\{\frac{1}{2}-cosx≥0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{2kπ≤x≤π+2kπ}\\{\frac{π}{3}+2kπ≤x≤\frac{5π}{3}+2kπ}\end{array}\right.$（k∈Z），
即2kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+π，（k∈Z），
∴函數(shù)的定義域為：{x丨2kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+π（k∈Z）}；
（2）y=cos²x-sinx=-sin²x-sinx+1=-（sinx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]，
∴sinx∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
故當sinx=-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取得最大值為$\frac{5}{4}$，當sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，函數(shù)取得最小值為$\frac{2-2\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查函數(shù)的定義域及值域的求法，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系，正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．