已知橢圓（）右頂點與右焦點的距離為，短軸長為.
（I）求橢圓的方程；  
（II）過左焦點的直線與橢圓分別交于、兩點，若三角形的面積為，求直線的方程．

（I）；（II）或 

解析試題分析：（I）由題意列關于a、b、c的方程組，解方程得a、b、c的值，既得橢圓的方程；（II）非兩種情況討論：當直線與軸垂直時，，此時不符合題意故舍掉；當直線與軸不垂直時，設直線 的方程為：，代入橢圓方程消去得：，再由韋達定理得，再由點到直線的距離公式得原點到直線的距離，所以三角形的面積從而可得直線的方程．
試題解析：（Ⅰ）由題意， ， 解得即：橢圓方程為    3分                           
（Ⅱ）當直線與軸垂直時，，此時不符合題意故舍掉；       4分
當直線與軸不垂直時，設直線 的方程為：，
代入消去得：.                   6分
設 ，則，                     7分
所以 .                                          9分
原點到直線的距離，所以三角形的面積.
由，                               12分
所以直線或.              13分
考點：1、橢圓的方程；2、直線被圓錐曲線所截弦長的求法；3、點到直線的距離公式．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設雙曲線以橢圓的兩個焦點為焦點,且雙曲線的一條漸近線是，
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線交于不同兩點,且都在以為圓心的圓上,求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

(本小題滿分12分)已知圓，圓，動圓與圓外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線交于，兩點，當圓的半徑最長是，求。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的兩個焦點和上下兩個頂點是一個邊長為2且∠F1B1F2為的菱形的四個頂點.
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點F2 ，斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點，A為橢圓的右頂點，直線、分別交直線于點、，線段的中點為，記直線的斜率為.求證:為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在直角坐標系中,點到兩點的距離之和等于4,設點的軌跡為,直線與交于兩點.
(1)寫出的方程;
(2)若點在第一象限,證明當時,恒有.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，、分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于、兩點，其中在第一象限．過作軸的垂線，垂足為．連接，并延長交橢圓于點．設直線的斜率為．

（Ⅰ）當直線平分線段時，求的值；
（Ⅱ）當時，求點到直線的距離；
（Ⅲ）對任意，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動點到定點和的距離之和為.
（Ⅰ）求動點軌跡的方程；
（Ⅱ）設，過點作直線，交橢圓異于的兩點，直線的斜率分別為，證明：為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知點的坐標分別是、，直線相交于點，且它們的斜率之積為．
(1)求點軌跡的方程；
(2)若過點的直線與(1)中的軌跡交于不同的兩點，試求面積的取值范圍（為坐標原點）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線的極坐標方程為，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)，）．
（Ⅰ）化曲線的極坐標方程為直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線經過點，求直線被曲線截得的線段的長．

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