Question

當n為正整數(shù)時，定義函數(shù)N（n）表示n的最大奇因數(shù)，如：N（3）=3，N（10）=5，記S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2ⁿ），則
（1）S（3）=______．
（2）S（n）=______．

Answer 1

解：（1）由題意可得，S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（8）=1+1+3+1+5+3+7+1=22
（2）由題意可得，當n=1時，S（1）=N（1）+N（2）=1+1=2
當n=2時，S（2）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）=[N（1）+N（3）]+N（2×1）+N（4×1）=（1+3）+1+1
=2²+2
當n=3時，S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（8）
=[N（1）+N（3）+N（5）+N（7）]+[N（2）+N（6）]+[N（4）+N（8）]
=（1+3+5+7）+（1+3）+（1+1）
=2⁴+2²+2
當n=4，S（4）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（16）
=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（15）]+[N（2）+N（6）+N（10）+N（14）]+[N（4）+N（8）+N（12）+N（16）]
=（1+3+5+7+9+11+13+15）+（1+3+5+7）+（1+1+3+1）
=64+16+6
=2⁶+2⁴+2²+2
n=5，S（5）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（32）
=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（31）]+[N（2）+N（6）+N（10）+…N（30）]+[N（4）+N（8）+…N（32）]
=（1+3+5++…+31）+（1+3+5+…+15）+（1+1+3+1+5+3+7+1）
=256+64+22=2⁸+2⁶+2⁴+2²+2
∴S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2ⁿ）
=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（2ⁿ-1）]+[N（2）+N（6）+N（10）+…N（2ⁿ-2）]+[N（4）+N（8）+…N（2ⁿ）]
=2^2n-2+2^2n-4+…+2²+2
=
=2=
故答案為：22，
分析：（1）由題意可得，S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（8），分別尋求每一項的值，然后可求
（2）先根據(jù)題意求出當n=1時，S（1）=N（1）+N（2），S（2）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4），S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（8），S（4）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（16），根據(jù)值出現(xiàn)的規(guī)律總結(jié)一般規(guī)律，然后可求
點評：本題以新定義為載體，主要考查了函數(shù)的函數(shù)值的求解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)前幾項的值尋求函數(shù)值出現(xiàn)的規(guī)律