Question

已知橢圓M：，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2，且點(diǎn)A（，1）在橢圓M上．直線l的斜率為，且與橢圓M交于B、C兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把點(diǎn)A代入橢圓方程，結(jié)合a=2解出b，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；
（Ⅱ）寫出直線的點(diǎn)斜式方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0解出m的范圍，求出相應(yīng)的兩個(gè)根，由點(diǎn)到直線的距離公式求出A到BC邊的距離，寫出面積后利用基本不等式求面積的最大值，驗(yàn)證得到的m值符合判別式大于0．
解答：解：（Ⅰ）由題意知，解得．
故所求橢圓方程為；
（Ⅱ） 設(shè)直線l的方程為，則m≠0．
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
代入橢圓方程并化簡得，
由△=2m²-4（m²-2）=2（4-m²）＞0，可得0＜m²＜4①．
由①，得，
故．
又點(diǎn)A到BC的距離為，
故
=，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=4-m²，即m=時(shí)取等號，滿足①式．
所以△ABC面積的最大值為．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了弦長公式的用法，考查了利用基本不等式求最值，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬難題．