Question

已知橢圓C：，其短軸的端點(diǎn)分別為A，B（如圖），直線AM，BM分別與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M （m，） 滿足m≠0，且．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率e；
（Ⅱ）用m表示點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；
（Ⅲ）證明直線EF與y軸交點(diǎn)的位置與m無關(guān)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出a，b，利用c²=a²-b²即可得到c，再利用離心率的計(jì)算公式即可得出；
（Ⅱ）利用點(diǎn)斜式分別寫出直線AM，BM的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，即可得到點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）得到直線EF的方程，令x=0，即可得到y(tǒng)的值．
解答：解：（Ⅰ）依題意知a=2，，∴；              
（Ⅱ）∵A（0，1），B（0，-1），M （m，），且m≠0，
∴直線AM的斜率為k₁=，直線BM斜率為k₂=，
∴直線AM的方程為y=，直線BM的方程為y=，
由得（m²+1）x²-4mx=0，
∴，∴，
由得（9+m²）x²-12mx=0，
∴，∴；                
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：
k_EF==．
∴直線EF的方程為：，
令x=0，得y==2，
∴直線EF與y軸的交點(diǎn)為（0，2）與m無關(guān)．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、點(diǎn)斜式等是解題的關(guān)鍵．本題需要較強(qiáng)的計(jì)算能力．