Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=4，DE=2AB=6，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）若直線CD與平面ABED所成的角為

π

3

，∠CAD=

π

2

，求三棱錐B-AEF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取DE的中點(diǎn)M，連接AM，F(xiàn)M，由已知得四邊形ABEM是平行四邊形，從而AM∥BE，進(jìn)而AM∥平面BCE，
雙MF∥CE，從而MF∥平面BCE，進(jìn)而平面AMF∥平面BCE，由此能證明AF∥平面BCE．
（2）過F作FO⊥平面ABE，交AD于O，由已知得FO=OD•tan

π

3

=2

3

，S_△ABE=

1

2

（

3+6

2

×4-

1

2

×3×4）=6，由此能求出三棱錐B-AEF的體積．

解答： （1）證明：如圖，取DE的中點(diǎn)M，連接AM，F(xiàn)M，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，又∵AB=FM=

1

2

DE，
∴四邊形ABEM是平行四邊形，∴AM∥BE，
又∵AM?平面BCE，BE?平面BCE，∴AM∥平面BCE，
∵CF=FD，DM=ME，∴MF∥CE，
又∵M(jìn)F?平面BCE，CE?平面BCE，∴MF∥平面BCE，
又∵AM∩MF=M，∴平面AMF∥平面BCE，
∵AF?平面AMF，∴AF∥平面BCE．
（2）解：過F作FO⊥平面ABE，交AD于O，
∵F是CD中點(diǎn)，∠CAD=

π

2

，∴O是AD中點(diǎn)，∴OD=2，
∵直線CD與平面ABED所成的角為

π

3

，∴∠FDO=

π

3

，
∴FO=OD•tan

π

3

=2

3

，
∵S_△ABE=

1

2

（

3+6

2

×4-

1

2

×3×4）=6，
∴三棱錐B-AEF的體積：
V_B-AEF=V_F-ABE=

1

3

×FO×S△ABE=

1

3

×2

3

×6=4

3

．

點(diǎn)評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、線面平行的證明、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．