Question

甲、乙、丙三人獨(dú)立破譯同一份密碼，已知甲、乙、丙各自破譯出密碼的概率分別為

1

3

，

1

4

，p，且他們是否破譯出密碼互不影響，若三人中只有甲破譯出密碼的概率為

1

6

．
（1）求p的值，
（2）設(shè)在甲、乙、丙三人中破譯出密碼的總?cè)藬?shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析：（1）由三人中只有甲破譯出密碼的概率為

1

4

，列出方程

1

3

×

3

4

×(1-p)=

1-p

4

=

1

6

即可求得；
（2）X的可能取值為0，1，2，3，求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，由此能求出X的分布列和期望．

解答：解：記“甲、乙、丙三人各自破譯出密碼”分別為時間A，B，C
由題意得，P（A）=

1

3

，P（B）=

1

4

，P（C）=p，且A，B，C相互獨(dú)立，
（1）設(shè)“三人中只有甲破譯出密碼”為時間D，則有
P（D）=P（A•

.

B

•

.

C

）=

1

3

×

3

4

×(1-p)=

1-p

4

，
所以

1-p

4

=

1

6

，解得，p=

1

3

．
（2）X的所有可能取值為0，1，2，3，
所以P（X=0）=

1

3

，
P（X=1）=P（A•

.

B

•

.

C

）+P（

.

A

•B•

.

C

）+P（

.

A

•

.

B

•C）=

1

6

+

2

3

×

1

4

×

2

3

+

2

3

×

3

4

×

1

3

=

4

9

，
P（X=2）=P（A•B•

.

C

）+P（A•

.

B

•C）+P（

.

A

•B•C）=

1

3

×

1

4

×

2

3

+

1

3

×

3

4

×

1

3

+

2

3

×

1

4

×

1

3

=

7

36

，
P（X=3）=P（A•B•C）=

1

3

×

1

4

×

1

3

=

1

36

．
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	1 3	4 9	7 36	1 36

所以E（X）=0×

1

3

+1×

4

9

+2×

7

36

+3×

1

36

=

11

12

．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，解（1）題時要注意方程思想的運(yùn)用，解（2）題時要認(rèn)真審題，避免漏解．屬于中檔題．