Question

甲、乙、丙三人獨(dú)立破譯同一份密碼，已知甲、乙、丙各自破譯出密碼的概率分別為

1

2

、

1

3

、p，且他們是否破譯出密碼互不影響，若三人中只有甲破譯出密碼的概率為

1

4

．
（1）求p的值．
（2）設(shè)甲、乙、丙三人中破譯出密碼的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析：（1）記事件A為“只有甲破譯出密碼”，可知：P(A)=

1

2

×(1-

1

3

)×(1-p)=

1

4

，解得P即可．
（2）由甲、乙、丙各自破譯出密碼的概率分別為

1

2

、

1

3

、

1

4

，利用相為對(duì)立事件的概率計(jì)算公式可得三個(gè)人不能夠破譯出密碼的概率．X的可能取值為0、1，、2、3；P（X=0）表示三個(gè)人都沒(méi)有能夠破譯出密碼的概率，故P(X=0)=(1-

1

2

)×(1-

1

3

)×(1-

1

4

)=

1

4

；依此類(lèi)推可得P（X=1），P（X=2），P（X=3）及其分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）記事件A為“只有甲破譯出密碼”，
則P(A)=

1

2

×(1-

1

3

)×(1-p)=

1

4

，可解得p=

1

4

．
（2）X的可能取值為0、1，、2、3；
P(X=0)=(1-

1

2

)×(1-

1

3

)×(1-

1

4

)=

1

4

；P(X=1)=

1

2

×(1-

1

3

)×(1-

1

4

)+(1-

1

2

)×

1

3

×(1-

1

4

)+(1-

1

2

)×(1-

1

3

)×

1

4

=

11

24

；P(X=2)=

1

2

×

1

3

×(1-

1

4

)+

1

2

×(1-

1

3

)×

1

4

+(1-

1

2

)×

1

3

×

1

4

=

1

4

；
P(X=3)=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

24

．

X	0	1	2	3
P	1 4	11 24	1 4	1 24

E(X)=0×

1

4

+1×

11

24

+2×

1

4

+3×

1

24

=

13

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了隨機(jī)變量的概率計(jì)算方法和分布列及其數(shù)學(xué)期望、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，屬于中檔題．