Question

海水受日月的引力作用，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．下面是港口在某季節(jié)每天的時間與水深關(guān)系的表格：

時刻	0：00	3：00	6：00	9：00	12：00	15：00	18：00	21：00	24：00
水深	5.0	7.5	5.0	2.5	5.0	7.5	5.0	2.5	5.0

選用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）來模擬港口的水深與時間的關(guān)系．如果一條貨船的吃水深度是5米，安全條例規(guī)定至少有1.25米的安全間隙（船底與洋底的距離），則該船一天之內(nèi)在港口內(nèi)呆的時間總和為

8

小時．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的周期算出ω=

π

6

，由振幅的大小和平衡位置的水深得出A=2.5，B=5．再由x=3時y=7.5，達(dá)到最大值，
建立關(guān)系式解出φ=2kπ（k∈Z）從而得到函數(shù)的表達(dá)式為：y=2.5sin

π

6

x+5（0≤x≤24）．最后根據(jù)安全間隙的規(guī)定解關(guān)于x的不等式，結(jié)合0≤x≤24，得1≤x≤5或13≤x≤17，即可算出該船一天之內(nèi)在港口內(nèi)呆的時間總和．

解答：解：由題意知，可得
∵函數(shù)y=f（x）的周期T=12，振幅A=2.5，B=5，∴ω=

2π

12

=

π

6

，
又∵x=3時y=7.5，達(dá)到最大值，
∴由7.5=2.5sin（

π

6

×3+φ）+5，得sin（

π

2

+φ）=1，
即cosφ=1，得φ=2kπ（k∈Z）．
∴函數(shù)的表達(dá)式為：y=2.5sin

π

6

x+5（0≤x≤24）；
由該船進(jìn)出港時，水深應(yīng)不小于5+1.25=6.25（m），
∴當(dāng)y≥6.25時，貨船就可以進(jìn)港，即2.5sin

π

6

x+5≥6.25，
∴sin

π

6

x≥

1

2

，得

π

6

+2kπ≤

π

6

x≤

5π

6

+2kπ（k∈Z）
即1+12k≤x≤5+12k（k∈Z），結(jié)合0≤x≤24，得1≤x≤5或13≤x≤17．
即該船一天之內(nèi)在港口內(nèi)呆的時間段為凌晨1點到5點和下午13點到17點，停留的總時間為8小時
故答案為：8

點評：本題給出實際應(yīng)用問題，求輪船在港口停留的總時長．著重考查了三角函數(shù)解析式求法和運(yùn)用三角函數(shù)模型的解決應(yīng)用問題等知識，屬于中檔題．