Question

（2013•懷化二模）受日月引力的作用，海水會(huì)發(fā)生漲落，這種現(xiàn)象叫潮汐．在通常情況下，船在海水漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭，卸貨后返回海洋．某港口水的深度y（m）是時(shí)間t（0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，記作：y=f（t），下表是該港口在某季每天水深的數(shù)據(jù)：

t（h）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（m）	10.0	13.1	9.9	7.0	10.1	13.0	10.0	7.0	10.0

經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀察y=f（x）的曲線可以近似地看做函數(shù)y=Asinωt+k的圖象．
（Ⅰ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=f（t）的近似表達(dá)式；
（Ⅱ）一般情況下，船舶航行時(shí)船底離海底的距離為5m或5m以上時(shí)認(rèn)為是安全的（船舶�？繒r(shí)，船底只需不碰到海底即可），某船吃水深度（船底離水面的距離）為6.5m，如果該船想在同一天內(nèi)安全進(jìn)出港，問(wèn)它至多能在港內(nèi)停留多長(zhǎng)時(shí)間（忽略進(jìn)出港所需時(shí)間）？

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)y=f（t）可以近似地看做y=Asinωt+k，由數(shù)據(jù)知它的周期T=12，振幅A=3，k=10，從而可得函數(shù)解析式；
（Ⅱ）該船進(jìn)出港口時(shí)，水深應(yīng)不小于6.5+5=11.5m，而在港口內(nèi)，永遠(yuǎn)是安全的，由此可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)y=f（t）可以近似地看做y=Asinωt+k，
∴由數(shù)據(jù)知它的周期T=12，振幅A=3，k=10…（3分）
∵

2π

ω

=12，∴ω=

π

6

．
故y=3sin

π

6

t+10…（6分）
（Ⅱ）該船進(jìn)出港口時(shí)，水深應(yīng)不小于6.5+5=11.5m，而在港口內(nèi)，永遠(yuǎn)是安全的，
由3sin

π

6

t+10≥11.5得sin

π

6

t≥

1

2

…（9分）
∴2kπ+

π

6

≤

π

6

t≤2kπ+

5π

6

，k∈Z，∴12k+1≤t≤12k+5（k∈N），
在同一天內(nèi)，取k=0.1，則1≤t≤5或13≤t≤17…（11分）
故該船最早能在凌晨1時(shí)進(jìn)港，最遲在下午17時(shí)離港，在港口內(nèi)最多停留16小時(shí)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)模型的建立，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．