Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足a₂•a₄=a₆，

2

a3

+

1

a4

=

1

a5

．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，前n項(xiàng)積為T_n，求所有的正整數(shù)k，使得對(duì)任意的n∈N^*，不等式S_n+K+

Tn

4

＜1恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知條件即可得出；
（Ⅱ）利用等比數(shù)列、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（Ⅰ） 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁＞0，公比為q＞0，
∵a₂•a₄=a₆，

2

a3

+

1

a4

=

1

a5

，
∴

a1q•a1q3=a1q5 2 a1q2 + 1 a1q3 = 1 a1q4

，
解得a1=q=

1

2

，
∴an=

1

2n

．
（Ⅱ）∵an=

1

2n

，
∴Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 ×(1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

，
Tn=

1

2

×

1

22

×…×

1

2n

=(

1

2

)

n(n+1)

2

，
若存在正整數(shù)k，使得不等式Sn+k+

Tn

4

＜1對(duì)任意的n∈N^*都成立，
則1-

1

2n+k

+(

1

2

)

n(n+1)

2

+2＜1，即k＜

1

2

[(n-

1

2

)2+

15

4

]，
∵只有當(dāng)n=1時(shí)，

1

2

[(n-

1

2

)2+

15

4

]取得最小值2，滿足題意．
∴k＜2，正整數(shù)k只有取k=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差、等比數(shù)列的求和公式、不等式及其恒成立問題等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力．