Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=kx+log9（9x+1）（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若函數(shù)g（x）=log9（a3x﹣ a）的圖象與f（x）的圖象有且只有一個公共點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是偶函數(shù)，∴由f（﹣x）=f（x）得﹣kx+log9（9﹣x+1）=kx+log9（9x+1），

整理得

（2）解：由題意知，方程 只有一解，即 有且只有一個實根，

令t=3x，則t∈（0，+∞），

從而方程 有且只有一個正實根t，

當(dāng)a﹣1=0時， （舍去），

當(dāng)a﹣1≠0時，若判別式△=0，即 +4a﹣4=0，

即4a2+9a﹣9=0得a=﹣3或a= ，

當(dāng)a= 時，t＜0，不滿足條件．舍去，

若△＞0，則t1t2＜0，得 ，則a＞1，

從而所求a的范圍是{﹣3}∪（1，+∞）

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程進(jìn)行求解．（2）根據(jù)函數(shù)g（x）和f（x）圖象的交點個數(shù)進(jìn)行討論求解．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．