Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC₁上的點(diǎn)，CF=AB=2CE=2，AD=4，AA₁=8．
（1）求直線A₁E與平面AA₁DD₁所成角的正弦值；
（2）求證：AF⊥平面A₁ED；
（3）求二面角A₁-ED-F的余弦角．

Answer 1

解：（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得
D（0，4，0），F(xiàn)（2，4，2），A₁（0，0，8），E（2，3，0）
在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，是平面A₁ADD₁的一個(gè)法向量，
∵=（2，0，0），=（2，3，-8）
∴cos＜，＞==
故直線A₁E與平面AA₁DD₁所成角的正弦值為（4分）
（2）證明：易知 =（2，4，2），=（-2，-3，8），=（-2，1，0），
于是 •=0，•=0，因此AF⊥A₁E，AF⊥ED，又A₁E∩ED=E，
所以AF⊥平面A₁ED．（8分）
（3）設(shè)平面EFD的法向量 =（x，y，z）
則 ，即
不妨令X=1，可得 =（1，2，-1）由（2）可知，為平面A₁ED的一個(gè)法向量．
于是cos ==，
所以二面角A₁-ED-F的余弦值為 （12分）
分析：（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線A₁E的方向向量與平面AA₁DD₁的法向量，代入向量夾角公式，即可求出直線A₁E與平面AA₁DD₁所成角的正弦值；
（2）分別求出AF，ED，A₁E的方向向量，根據(jù)數(shù)量積為0，兩向量垂直可判斷出AF與ED，A₁E均垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得到AF⊥平面A₁ED；
（3）分別求出平面A₁ED的法向量和平面EDF的法向量，代入向量夾角公式即可求出二面角A₁-ED-F的正弦值．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是用空間向量求直線間的夾角、距離，直線與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角，其中建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將空間線、面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．