Question

設函數表示f(x)導函數。
(I)求函數一份（x）)的單調遞增區(qū)間；
(Ⅱ)當k為偶數時，數列{}滿足．證明：數列{}中
不存在成等差數列的三項；
(Ⅲ)當后為奇數時，證明：對任意正整數，n都有成立．

Answer 1

（1）當k為奇數時，f(x)的單調遞增區(qū)間為，當k為偶數時f(x)的單調遞增區(qū)間為（2）見解析（3）見解析

（Ⅰ）函數的定義域為（0，+∞）
又                  
當k為奇數時，
即的單調遞增區(qū)間為                    
當k為偶函數時，
由>0，得x-1>0,∴x>1,即f(x)的單調遞增區(qū)間為，
綜上所述：當k為奇數時，f(x)的單調遞增區(qū)間為，當k為偶數時f(x)的單調遞增區(qū)間為                                        
（Ⅱ）當k為偶數時，由（Ⅰ）知
所以
根據題設條件有
∴{ }是以2為公式的比例數列                
假設數列{}中存在三項，，，成等差數列
不妨設r<s<t，則2=+
即
又 
（Ⅲ）當k為奇數時       
方法二：（數學歸納發(fā)）
當n=1是，左邊=0，右邊=0，顯然不等式成立
設n=k+1時：



又

n=k+1時結論成立。
綜上，對一切正整數n結論成立。