Question

某水庫進入汛期的水位升高量h_n (標高)與進入汛期的天數n的關系是h_n＝20，汛期共計約40天，當前水庫水位為220(標高)，而水庫警戒水位是400(標高)，水庫共有水閘15個，每開啟一個泄洪，一天可使水位下降4(標高)．
（I）若不開啟水閘泄洪，這個汛期水庫是否有危險？若有危險，將發(fā)生在第幾天？
（II）若要保證水庫安全，則在進入汛期的第一天起每天至少應開啟多少個水閘泄洪？
(參考數據：2.27²＝5.1529，2.31²＝5.3361)

Answer 1

（I）在第4天會發(fā)生危險．
（II）每天開啟11個水閘泄洪，才能保證水庫安全．

（I）進入汛期的水庫水位標高f(n)＝20＋220．
令20＋220>400，整理得5n²＋6n>81，代值驗證得n≥4，所以，在第4天會發(fā)生危險．
II）設每天開啟p個水閘泄洪，則f(n)＝20＋220－4np，
令20＋220－4np≤400，
即p≥＝5()＝5()．
下面證明函數g(n)＝為增函數．
事實上，令g(x)＝(x≥1)，
g′(x)＝()′＝＝．
當x≥1時，g′(x)>0，∴g(x)在x≥1時為增函數，
所以　g(n)＝為增函數．  
于是　　g(n)_max＝g(40)＝p≥5×2.04＝10.20．
故知每天開啟11個水閘泄洪，才能保證水庫安全．