Question

8．四棱錐P-ABCD底面為梯形，AB∥DC，DC=3AB，若$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{ED}$（λ＞0），AE∥平面PBC，則λ=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 過E作EF∥CD交PC于F，連結BF，AE．則EF∥AB，由線面平行的性質得AE∥BF，故而四邊形ABFE是平行四邊形，AB=EF，利用平行線等分線段成比例定理列比例式得出λ．

解答 解：過E作EF∥CD交PC于F，連結BF，AE．
∵AB∥CD，∴EF∥AB．
∵AE∥平面PBC，AE?平面ABFE，平面PAB∩平面ABFE=BF，
∴AE∥BF．
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴AB=EF．
∵$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{ED}$，∴$\frac{PE}{PD}=\frac{λ}{λ+1}$，
∵EF∥CD，∴$\frac{PE}{PD}=\frac{EF}{CD}=\frac{AB}{CD}=\frac{1}{3}$，即$\frac{λ}{λ+1}$=$\frac{1}{3}$，解得$λ=\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了線面平行的性質，向量數乘運算的意義，屬于中檔題．