Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAB是等邊三角形，D，E分別為AB，PC的中點．
（1）在BC邊上是否存在一點F，使得PB∥平面DEF．
（2）若∠PAC=∠PBC=90°，證明：AB⊥PC；
（3）在（2）的條件下，若AB=2，AC=

5

，求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）取BC的中點為F，連接DE，EF，DF，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可知EF∥PB，利用線面平行的判定定理，即可得PB∥平面DEF；
（2）要證AB⊥PC，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，只需證明AB⊥平面PDC即可；
（3）因為AB⊥平面PDC，所以三棱錐體積的計算可轉(zhuǎn)化為以△PDC為底，AB為高即可．

解答：解：（1）取BC的中點為F，連接DE，EF，DF
∵E為PC的中點
∴EF∥PB
∵PB?平面DEF，EF?平面DEF
∴PB∥平面DEF…（4分）
（2）證明：因為△PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90°，
所以Rt△PBC≌Rt△PAC，
∴AC=BC．
連接PD，CD，
∴PD⊥AB，CD⊥AB，
∵PD∩CD=D，
∴AB⊥平面PDC，
∵PC?平面PDC，
∴AB⊥PC…（8分）
（3）∵PD=

3

，CD=2，PC=3
∴cos∠PDC=

4+3-9

2×2× 3

=-

3

6

∴sin∠PDC=

33

6

∴S△PDC=

1

2

×2×

3

×

33

6

=

11

2

∵AB⊥平面PDC，AB=2
∴三棱錐體積為：VP-ABC=

1

3

×

11

2

×2=

11

3

…（12分）

點評：本題以三棱錐為載體，考查線面垂直、線面平行的判定與性質(zhì)，考查三棱錐的體積，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力．解題的關(guān)鍵是正確運用線面垂直、線面平行的判定與性質(zhì)．