Question

如圖所示，在△ABC中，D、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，=，=，=．
（1）用、表示向量、、、、；
（2）求證：B、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)．

Answer 1

解：（1）如圖所示：解延長(zhǎng)AD到G，使=，
連接BG、CG，得到四邊形ABGC，
∵D是BC和AG的中點(diǎn)，
∴四邊形ABGC是平行四邊形，則=+=，
∴==（），==（）．
∵F是AC的中點(diǎn)，∴==，
∴=-=（）-=（）．
=-=-=（）．
（2）證明：由（1）可知，=（），=（）．
∴=，即、是共線(xiàn)向量，所以B、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)．
分析：（1）由題意作出輔助線(xiàn)構(gòu)成平行四邊形ABGC，由四邊形法則和D是AG的中點(diǎn)求出，由題意求出，由F是AC的中點(diǎn)求出，再由向量減法的三角形法則求出和；
（2）由（1）求出=，故兩個(gè)向量共線(xiàn)，即B、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的線(xiàn)性運(yùn)算和共線(xiàn)向量的等價(jià)條件，主要運(yùn)用了向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量加法的四邊形和向量減法的三角形法則．