Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：f（2x）=2f（x），且當x∈（1，2]時，f（x）=2-x，若x₁，x₂是方程f（x）=a（0＜a≤1）的兩個實數(shù)根，則x₁-x₂不可能是（　　）

• A、24
• B、72
• C、96
• D、120

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：計算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題中的條件得到函數(shù)的解析式為：所以f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，b∈N^*．又將方程f（x）=a（0＜a≤1）的兩個實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）圖象和直線y=a的交點問題，再結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)題意求出答案即可．

解答： 解：因為對任意的x∈（0，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且當x∈（1，2]時，f（x）=2-x；
所以f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，b∈N^*．
由題意方程f（x）=a（0＜a≤1）的兩個實數(shù)根，得函數(shù)y=f（x）圖象和直線y=a的有兩個交點，
分別畫出它們的圖象，如圖所示，
所以可得函數(shù)y=f（x）圖象和直線y=a的交點的橫坐標之差可以是2，4，8，16，32，64，…
由于24=8+16；96=32+64；120=8+16+32+64．
則x₁-x₂不可能是72．
故選：B．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉求函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學的一個重要數(shù)學數(shù)學，是解決數(shù)學問題的必備的解題工具．