Question

18．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左右焦點(diǎn)，過F₂斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，△MF₁N的周長為8，離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-$\frac{17}{7}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求|MN|．

Answer 1

分析 （1）由已知求得a，再由離心率求得c，利用隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x得一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-$\frac{17}{7}$列式求得直線斜率，再由弦長公式求得|MN|．

解答 解：（1）如圖，由題意可得，4a=8，得a=2，
又$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴c=1，b²=a²-c²=3．
則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）F₂（1，0），設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}-{k}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{k}^{2}$=-$\frac{17}{7}$，
即$（1+{k}^{2}）•\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}-{k}^{2}•\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+{k}^{2}=-\frac{17}{7}$，
解得k=1（k＞0）．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8}{7}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{8}{7}$．
則|MN|=$\sqrt{2}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{24}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．