Question

6．經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則這樣的直線(xiàn)的條數(shù)為（　�。�

• A． 4條
• B． 3條
• C． 2條
• D． 1條

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求得a、b的值，根據(jù)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交的情形，分兩種情況討論：①AB只與雙曲線(xiàn)右支相交，②AB與雙曲線(xiàn)的兩支都相交，分析其弦長(zhǎng)的最小值，可得符合條件的直線(xiàn)的數(shù)目，綜合可得答案．

解答 解：由雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，可得a=2，b=1．
若AB只與雙曲線(xiàn)右支相交時(shí)，AB的最小距離是通徑，
長(zhǎng)度為$\frac{2^{2}}{a}$=1，
∵AB=4＞1，∴此時(shí)有兩條直線(xiàn)符合條件；
若AB與雙曲線(xiàn)的兩支都相交時(shí)，此時(shí)AB的最小距離是實(shí)軸兩頂點(diǎn)的距離，
長(zhǎng)度為2a=4，距離無(wú)最大值，
∵AB=4，∴此時(shí)有1條直線(xiàn)符合條件；
綜合可得，有3條直線(xiàn)符合條件．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的關(guān)系，解題時(shí)可以結(jié)合雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，分析直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的相交的情況，分析其弦長(zhǎng)最小值，從而求解，可避免由弦長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算．