Question

17．已知A，B分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點(diǎn)，P是雙曲線C右支上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，則k₁+k₂的取值范圍為（　�。�

• A． （$\frac{2b}{a}$，+∞）
• B． （$\frac{a}$，+∞）
• C． [$\frac{a}$，+∞）
• D． [$\frac{a}$，$\frac{2b}{a}$）

Answer 1

分析 由題意可得A（-a，0），B（a，0），設(shè)P（m，n），代入雙曲線的方程，運(yùn)用直線的斜率公式可得k₁k₂=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，k₁，k₂＞0，再由基本不等式即可得到k₁+k₂的取值范圍．

解答 解：由題意可得A（-a，0），B（a，0），設(shè)P（m，n），
可得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，即有$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
可得k₁k₂=$\frac{n}{m+a}$•$\frac{n}{m-a}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，k₁，k₂＞0，
則k₁+k₂≥2$\sqrt{{k}_{1}{k}_{2}}$=$\frac{2b}{a}$，
由A，B為左右頂點(diǎn)，可得k₁≠k₂，
則k₁+k₂＞$\frac{2b}{a}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足雙曲線的方程，以及直線的斜率公式，考查基本不等式的運(yùn)用以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．